一道数学分析证明题（急）

1. 一道数学分析证明题（急）

证明：
① 往证 an 有界，an 收敛；
∵ lim（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = a , 收敛数列必有界，
∴ 存在 M ，对任意n∈N ，（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n < M , 从而：
an/2 = (nan)/2n ≤（a(1)+a(2)+…+an+a(n+1)+...+a(2n)）/2n < M
故：an 有界，又{a(n)}单调递增，所以{a(n)}收敛；

② 往证：lim(n->∞) an = a
设： lim(n->∞) an = c
则由Cauchy第一收敛定理：
lim(n->∞)（a(1)+a(2)+…+a(n)）/n = c
故 lim(n->∞) an = a
【证毕】


【附：Cauchy第一收敛定理：】
lim(n->∞) an =a ,求证： lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

证明：
① 对任意 ε>0 ,
       ∵ lim(n->∞) an =a
       对 ε/2 >0 ,存在 N1，当n>N1时, |an-a|<ε/2，
       令: M = 2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a| +1)/ε
       则当 n > max{ M , N1} 时: 
       |(a1+a2+..+an)/n - a| 
       ≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
       ≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n  ≤ ε/2+ε/2 = ε 
      
② 故存在 N = max{ [M] , N1} ∈Z+

③ 当 n>N  时，
     
④ 恒有： |(a1+a2+..+an)/n - a| < ε  成立。

∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a

{此定理也可直接利用 O'Stoltz 定理证明}

2. 一道数学分析证明题《急》

楼上反证法的第一步就错了，x(n) 不趋于无穷并不代表一定趋于某个常数，也可以是完全没有极限的情形。

如果 x(n) 不以正无穷为极限，则存在实数 M，对任何正整数 N，总存在 m>N 使得 x(m)0 使得 f(x(m))>f(M)>lim{x->+oo}f(x) + c，比如可取 c=f(M)-f(M+1)，于是 limsup{n->oo}f(x(n))>=lim{x->+oo}f(x)+c，矛盾。

3. 数学分析的一道证明题

作为x的函数对1/t^x使用Lagrange中值定理得:
对1 < a < b < 2, 当t ≥ 1有|1/t^a-1/t^b| ≤ |a-b|·|ln(t)|/t^a, 当0 < t ≤ 1有|1/t^a-1/t^b| ≤ |a-b|·|ln(t)|/t^b.
由0 < ln(1+t) ≤ t, 在0 < t ≤ 1时0 < ln(1+t)|ln(t)|/t^b ≤ -ln(t)·t^(1-b).
右端原函数-ln(t)·t^(2-b)/(2-b)+t^(2-b)/(2-b)², 在[0,1]上积分收敛到1/(2-b)².
在1 ≤ t时0 < ln(1+t) ≤ ln(2)·t^((a-1)/2), 故0 < ln(1+t)ln(t)/t^a ≤ ln(2)·ln(t)·t^(-(a+1)/2).
右端原函数2ln(2)·ln(t)·t^((1-a)/2)/(1-a)-4t^((1-a)/2)/(1-a)², 在[1,+∞)上积分收敛到4/(1-a)².
我们得到控制|F(a)-F(b)| ≤ (1/(2-b)²+4/(1-a)²)·|a-b|. 由此易见F(x)在(1,2)中连续.

解释一下, 证明积分收敛性用比较判别法就行了, 但为了得到关于a,b的有界性进行了具体计算.
这个有界性是连续性证明中所需要的. 当然估计手法其实还可以更粗放一些.
印象中含参变量积分有一些现成的结论可用, 可惜我一点也想不起来了.
所以用的是基本的定义和单纯的估计.

4. 一道数学分析证明题

(1) f(x1+x2) = x1*f(x1+x2)/(x1+x2) + x2*f(x1+x2)/(x1+x2) <= x1*f(x1)/x1 + x2*f(x2)/x2 = f(x1)+f(x2)
(2) 把-f代入(1)

楼上做法既然涉及导数，则必然是错的。

5. 一道数学分析证明题

证明f(x)在每个点上可导，且导数为0，即可 f'(x)=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x 而 |f(x+△x)-f(x)]/△x|<(△x)的α-1 次方 ，夹逼原理可知道 f'(x)=lim [f(x+△x)-f(x)]/△x=0 所以 f(x)=C

6. 一道数学分析的证明题，求大神。

证明过程以及所用定理的证明如图所示，多数数学分析的教材都有下面定理的证明过程，在对解题严谨性要求不高的前提下可以省略不写下面定理的证明而直接使用。
解释一下，函数的可导性是局部性质，和连续性一样，是逐点定义的性质，也就是说，哪怕函数项级数在无穷区间上不收敛，它在闭区间里的的连续性与可导性可以推广到无穷区间上。
纯手写，满意请采纳，如有疑问请追问。

7. 一道数学分析证明题

如图，应用二元函数极值反证即可

8. 数学分析一道证明题